WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

Vinkel mellan två räta linjer
Planets ekvation
Skärning mellan två plan
Vinkel mellan två plan
Räta linjer och plan i rymden
Rymdgeometri
Vektor, vektorstorheter

Ekvationer för räta linjen

En rät linje i rymden (i ett tredimensionella koordinatsystem) kan vara bestämd av t.ex. en punkt P0 och en vektor (ej nollvektor). Då gäller att en punkt P tillhör den räta linjen precis då vektorn är parallell med vektorn . Detta innebär att det finns ett tal λ så att
λ·
Vektorn kallar vi en riktningsvektor för den räta linjen, och talet λ parameter för punkten P.

En linje som går genom en given punkt P0(x0, y0, z0), och har riktningsvektorn (a, b, c) har ekvationer som kan skrivas antingen som
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ·(a, b, c)
eller som
x = x0 + λ·a
y = y0 + λ·b
z = z0 + λ·c
eller som

En linje genom två punkter P1(x1, y1, z1) och P2(x2, y2, z2) har ekvationer som kan skrivas
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ·(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
eller
x = x1 + λ(x2 - x1)
y = y1 + λ(y2 - y1)
z = z1 + λ(z2 - z1)
eller

Vinkel mellan två räta linjer

Med vinkeln φ mellan två räta linjer menar vi vinkeln mellan två riktningsvektorer och ,en för vardera linjen. Eftersom skalärprodukten definierades genom · = |v1|·|v2|·cos φ, kan vi använda skalärprodukten för vinkelberäkningar.

Exempel: Beräkna vinkeln mellan de räta linjerna
(x1, y1, z1) = (1, 0, 3) + t1(1, -1, 2) och
(x2, y2, z2) = (0, 4, 4) + t2(3, -1, 1)

vilket ger φ = 42,4º

Planets ekvation

En vektor som är ej nollvektor och som är vinkelrät mot varje vektor i ett plan kallas en normalvektor till planet. Genom att utgå från en fix punkt P0 i ett givet plan och en normalvektor till planet kan vi bestämma en ekvation för planet. Vi utnyttjar då att skalärprodukten av och är 0 för alla punkter P i planet.

Ett plan som går genom en punkt P0(x0, y0, z0) och vars normaler är parallella med vektorn (a, b, c) har en ekvation

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

vilken också kan skrivas

ax + by + cz + d = 0
där d = - (ax0 + by0 + cz0)

Skärning mellan två plan

En ekvation för skärningslinjen mellan två icke-parallella plan kan vi få genom att lösa det ekvationssystem som de båda planens ekvationer bildar. Två plan representeras av två förstagradsekvationer:

a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0

Två ekvationer har har tre obekanta. Det går att lösa ut två av obekanta och uttrycka dem i den tredje:

x =  + z
y =  + z

Med användning av en parameter λ får ekvationen för den räta linjen genom punkten P0(x0, y0, z0) med riktningscosinerna a, b, c formen:
x = x0 + λ·a
y = y0 + λ·b
z = z0 + λ·c

Om vi sätter z = t (ett godtyckligt tal) för parameter, kan lösningen skrivas:

x =  + t
y =  + t
z =    t

Vinkel mellan två plan

Vinkeln φ mellan två plan får vi som vinkeln mellan två normalvektorer till planen.
Numeriskt beräknar vi vinkeln med hjälp av skalärprodukten.

n1·n2 = |n1|·|n2|·cos φ

 


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna